IL PARABOLOIDE A SELLA
Lo strumento fondamentale dell'equitazione è la sella, e ciò che la modellizza in matematica è una particolare quadrica, cioè il paraboloide iperbolico, o appunto il paraboloide a sella.
LE QUADRICHE
-
Si definisce quadrica una superficie del secondo ordine tale che le coordinate cartesiane dei suoi punti soddisfano una equazione di secondo grado.
-
Per ogni punto di una quadrica, esistono due rette uscenti da tali punti appartenenti alla quadrica stessa.
-
I punti di una quadrica si definiscono iperbolici, parabolici o ellittici a seconda che le rette uscenti da ciascun punto di essa siano reali e distinte, coincidenti o immaginarie.
Le quadriche a punti iperbolici o rigate (non degeneri) si dividono in iperboloidi ad una falda ed in paraboloidi iperbolici o a sella, identificati come superfici di traslazione; infatti sono generati dalla traslazione di una parabola generatrice, il cui vertice V si sposta lungo la parabola direttrice. I piani che contengono le due parabole sono sempre distinti. Inoltre, il piano della parabola generatrice nel movimento di traslazione assume posizioni parallele a quella di origine.
In specifico, il paraboloide iperbolico o a sella è considerato una superficie generata dalla traslazione parallela di una parabola φ (generatrice) il cui vertice percorre un’altra parabola ω (direttrice) giacente su un piano distinto dal piano della generatrice (piani ortogonali fra loro).
La superficie è limitata dal piano π orizzontale parallelo agli assi xy di quota negativa rispetto all’origine O e dai piani verticali paralleli agli assi xz.
Le sezioni piane di un paraboloide iperbolico sono o due rette incidenti, cioè due delle generatrici della superficie, o delle parabole o delle iperboli.
-
Sezioni con i piani principali.
Se il piano secante è orizzontale parallelo agli assi xy, le sezioni sono delle iperboli con l’asse non trasverso parallelo alla x, se il piano secante è aquota positiva rispetto all’origine O, mentre sono con l’asse trasverso parallelo alla x, se la quota è negativa.
-
Se il piano coincide con l’origine O e la quota è nulla, la sezione è composta da due rette generatrici a e b incidenti nell’origine O.
-
Se il piano secante è verticale parallelo agli assi xz, le sezioni sono tutte parabole uguali alla parabola generatrice φ. Se è parallelo agli assi yz, le sezioni sono tutte parabole uguali alla parabola direttrice ω.
La sezione con un piano verticale, generico rispetto agli assi x e y, presenta due possibili soluzioni:
-
Parabola: quando il piano secante è incidente tutte le rette di una classe.
-
Retta: nel caso che contenda una generatrice.
La sezione con un piano generico presenta tre possibili soluzioni:
-
Iperbole
-
Parabola
-
Due generatrici incidenti: questa risulta quando il piano secante è tangente nel punto di incidenza delle due rette.